解：①∵

△ A B C

是等边三角形，

∴ $A B = A C = B C$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ B A C = 60 °$ ，

∵ $B G$ 是 $△ B E F$ 的高， $△ B G F$ 是“类勾股三角形”，

∴由（2）可得 $F G ： B G ： B F = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ ， $∠ B F G = 60 °$ ，

∴ $∠ F A B + ∠ F B A = ∠ B F G = 60 °$ ，

∵ $∠ F A B + ∠ E A C = ∠ B A C = 60 °$ ，

∴ $∠ F B A = ∠ E A C$ ，

在 $△ A B D$ 和 $△ C A E$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ B A D = ∠ A C E \\ B A = A C \\ ∠ D B A = ∠ E A C \end{array}$ ，

∴ $△ A B D ≅ △ C A E (A S A)$ ，

∴ $A D = C E$

②∵ $∠ G C B = ∠ A B D$ ， $A B = A C$ ，

∴ $∠ F A B = 60 ° - ∠ A B D = 60 ° - ∠ G C B = ∠ A C G$ ，

在 $△ A B F$ 和 $△ C A G$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ F A B = ∠ G C A \\ B A = A C \\ ∠ A B F = ∠ C A G \end{array}$ ，

∴ $△ A B F ≅ △ C A G$ ，

∴ $A G = B F$ ，

∵ $A B = B C ， A D = C E$ ，

∴ $B E = C D$ ，

设 $F G = x$ ， $E G = y$ ，则 $B G = \sqrt{3} x$ ， $B F = 2 x$ ，

∴ $A G^{2} = B F^{2} = 4 x^{2}$ ，

$E F^{2} = (x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ，

$C D^{2} = (\sqrt{3} x)^{2} + y^{2} = 3 x^{2} + y^{2}$ ，

∴ $A G^{2} + E F^{2} - A G \cdot E F = 4 x^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} - 2 x (x + y) = 3 x^{2} + y^{2}$ ，

∴ $A G^{2} + E F^{2} - A G \cdot E F = C D^{2}$ ，

∴线段 $A G ， E F ， C D$ 能构成一个“类勾股三角形”.

浙教版数学七升八暑假每天一测预习篇：勾股定理