解：如图，

$∵ E G$ 平分 $∠ H E A$ ，

∴设 $∠ H E A = 2 α$ ， $∠ H E G = ∠ G E A = α$ ，

$∴ ∠ A E K = 180 ° - 2 α$ ，

$∴ ∠ G E K = ∠ G E A + ∠ A E K = 180 ° - α$ ，

在 $△ G E K$ 中， $∠ E G K + ∠ E K G + ∠ G E K = 180 °$ ，

$∴ ∠ E G K + ∠ E K G = 180 ° - ∠ G E K = 180 ° - (180 ° - α) = α$ ，

又 $∵ ∠ E G K - ∠ E K G = 10 °$ ，

$∴ ∠ E G K = \frac{1}{2} α + 5 ° ， ∠ E K G = \frac{1}{2} α - 5 °$ ，

$∵ 3 ∠ N F K = 13 ∠ E G K$ ，

$∴ ∠ N F K = \frac{13}{3} ∠ E G K = \frac{13}{3} (\frac{1}{2} α - 5 °) = \frac{13}{3} α - \frac{65}{3} °$

$∵ A B ∥ C D$ ，

$∴ ∠ H K F = ∠ H E A = 2 α$ ，

$∴ ∠ N K F = ∠ H K F - ∠ E K G = 2 α - (\frac{1}{2} α - 5 °) = \frac{3}{2} α + 5 °$ ，

又 $∵ ∠ F N K = 80 °$ ，

在 $△ F N K$ 中， $∠ N F K + ∠ N K F + ∠ F N K = 180 °$

∴ $\frac{13}{3} α - \frac{65}{3} ° + \frac{3}{2} α + 5 ° + 80 ° = 180 °$ ，

解得 $α = 20 °$ ，

$∴ ∠ F G N = ∠ E G F - ∠ E G K = 90 ° - (\frac{1}{2} α + 5 °) = 75 °$ ，

$∴ ∠ G N F = 180 ° - ∠ F N K = 180 ° - 80 ° = 100 °$ ，

$∴$ 在 $△ G F N$ 中，

$∠ G F N = 180 ° - ∠ G N F - ∠ F G N = 180 ° - 75 ° - 100 ° = 5 °$ ，

∴ $∠ G F N$ 的度数为 $5 °$ ．

人教版八年级上学期数学课时进阶测试11.2三角形有关的角（三阶）