解：

延长 $A M$ 交 $B C$ 于G，

∵ $Q A ∥ G C$ ， $M Q = M C$ ，

又∵ $∠ Q M A = ∠ G M C$ ，

∴ $△ Q A M ≌ △ C G M$ ，

∴ $A M = M G$ ，

连接 $B M$ ，

∵ $∠ A B G = 90 °$ ，

∴ $M B = \frac{1}{2} A G = A M$ ，

∴ $∠ A B M = ∠ M A B = ∠ A E N$

取 $F C$ 中点H，连接 $B H$ ，

∴ $E B ∥ F H$ 且 $E B = F H$ ，

∴ $▱ E B H F$ ，

∴ $E F = B H$ ， $E F ∥ B H$ ，

∴ $∠ A E F = ∠ A B H$ ．

∴ $∠ A E F - ∠ A E N = ∠ A B H - ∠ A B M$ ，

∴ $∠ N E F = ∠ M B H$ ．

∵M是 $Q C$ 中点，H是 $F C$ 的中点，

∴ $M H ∥ Q F$ ， $M H = \frac{1}{2} Q F$ ，

∴ $∠ N F O = ∠ M H O$

∵ $E F ∥ B H$ ，

∴ $∠ E F D = ∠ B H D$ ，

∴ $∠ E F D - ∠ N F O = ∠ B H D - ∠ M H O$ ，

∴ $∠ N F E = ∠ M H B$ ，

又 $∠ N E F = ∠ M B H$ ， $E F = B H$ ，

∴ $△ E F N ≌ △ B H M$

∴ $N F = M H = \frac{1}{2} Q F$ ，

∴ $M N$ 是 $△ Q F C$ 中位线，

∴ $M P ∥ x$ 轴

∴ $∠ Q P O = ∠ A O C = 90 °$ ，

∴ $N P ⊥ A O$

连接 $N O$ ， $N O$ 为 $Rt △ Q F O$ 斜边中线，

∴ $N O = \frac{1}{2} Q F = Q N$ ，

∴ $P O = Q P$

又∵N是 $Q F$ 中点，

∴ $P N = \frac{1}{2} O F = 3$

在x轴负半轴上取 $D T = D O$ ，连接 $Q T$ ，

∴ $Q T = 2 P D = Q E$ ，

∴ $Q E^{2} = Q T^{2}$ ．

在 $Rt △ Q A E$ 和 $Rt △ Q T O$ 中， $Q T^{2} = Q O^{2} + T O^{2}$ ， $Q E^{2} = A E^{2} + A Q^{2}$ ，

∴ $Q O^{2} + T O^{2} = A E^{2} + A Q^{2}$

设 $A Q = m$ ，则 $Q O = 6 + m$ ， $T O = 4$ ， $A E = 8$ ，

∴ ${(m + 6)}^{2} + 4^{2} = 8^{2} + m^{2}$ ，

∴ $m = 1$ ，

∴ $Q O = m + 6 = 7$ ，

∴ $P O = \frac{1}{2} Q O = \frac{7}{2}$ ，

∴ $N (3 ， \frac{7}{2})$ ．

2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破12 三角形的中位线