解：①当点F在

A D

上时，

∵点F在 $A D$ 上，

∴ $- 2 a - 2 = 0$ ，解得 $a = - 1$ ，

∴ $P (- 1 ， 3)$ ；

当点F在 $D E$ 上时，

∵ $F (2 a ， - 2 a - 2)$ ，且F在 $D E$ 上，

∴ $- 2 a - 2 = 3 \times 2 a + 18$ ，解得： $a = - \frac{5}{2}$ ，

∴ $P (- \frac{5}{2} ， \frac{9}{2})$ ；

综上： $P (- 1 ， 3)$ 或 $P (- \frac{5}{2} ， \frac{9}{2})$ ；

② $△ M F N$ 周长最小值为 $8 \sqrt{2}$ ； $P (- \frac{5}{3} ， \frac{11}{3})$

∵ $A (2 ， 0)$ ， $E (- 4 ， 6)$ ，

∴ $A E = \sqrt{{(2 + 4)}^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{2}$ ，

∵M为 $P E$ 中点，N为 $P A$ 中点，

∴ $M N = M P + N P = \frac{1}{2} P E + \frac{1}{2} P A = \frac{1}{2} A E = 3 \sqrt{2}$ ，

过点E作 $E Q ⊥ x$ 轴于点Q，

∵ $A (2 ， 0)$ ， $E (- 4 ， 6)$ ，

∴ $E Q = 6 ， A Q = 2 + 4 = 6$ ，

∴ $∠ E A D = 45 °$ ，则 $∠ B E A = 45 °$ ，

过点B作 $B G ⊥ A E$ 于点G，过点F作 $F H ⊥ A E$ 于点H，

∵点B和点F关于点P的中心对称点，

∴ $B P = F P$ ，

又∵ $∠ B G P = ∠ F H P = 90 ° ， ∠ B P G = ∠ F P H$ ，

∴ $△ B P G ≌ △ F P H$ ，

∴ $B G = F H$ ，

延长 $A E$ ，过点C作 $C I ⊥ A E$ 于点I，

∵点E是 $B C$ 中点，

∴ $C E = B E$ ，

∵ $∠ I = ∠ B G E ， ∠ C E I = ∠ B E G$ ，

∴ $△ C E I ≌ △ B E G$ ，

∴ $C I = B G$ ，则 $C I = F H$ ，

∵ $B (0 ， 6)$ ， $E (- 4 ， 6)$ ，

∴ $B E = 4$ ，

∵ $∠ B E A = 45 °$ ， $B G ⊥ A E$ ，

∴设 $B G = E G = x$ ，

在 $R t △ B G E$ 中，根据勾股定理可得： $B G^{2} + E G^{2} = B E^{2}$ ，即 $x^{2} + x^{2} = 4^{2}$ ，

解得： $x = 2 \sqrt{2}$ ，

∴ $B G = E G = C I = F H = 2 \sqrt{2}$ ，

过点C作 $C P ∥ A E$ ，

∵ $C I = F H$ ， $B G ⊥ A E$ ， $C I ⊥ A E$ ，

∴ $C F ∥ A E$ ，

则点F在直线 $C P$ 上运动，

作点N关于直线 $C P$ 的对称点 $N^{'}$ ，

根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得 $N N^{'} = 2 F H = 4 \sqrt{2}$ ，

当点 $N^{'}$ ，F，M在同一条直线上时， $F N + F M = F N^{'} + F M = M N^{'}$ ，此时 $△ M F N$ 周长取最小值，

在 $R t △ M N N^{'}$ 中，根据勾股定理可得： $M N^{'} = \sqrt{M N^{2} + N {N^{'}}^{2}} = 5 \sqrt{2}$ ，

∴ $△ M F N$ 周长最小值为 $M N^{'} + M N = 5 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ ；

∵ $E (- 4 ， 6)$ ， $A (2 ， 0)$ ， $P (a ， - a + 2)$ ，M为 $P E$ 中点，N为 $P A$ 中点，

∴ $M (\frac{a - 4}{2} ， \frac{- a + 8}{2})$ ， $N (\frac{a + 2}{2} ， \frac{- a + 2}{2})$ ，

∵ $F H ∥ N N^{'}$ ， $F H = \frac{1}{2} N N^{'}$ ，

∴ $F H$ 是 $△ M N N^{'}$ 的中位线，则点H是 $M N$ 中点，

∴ $H (\frac{a - 1}{2} ， \frac{- a + 5}{2})$ ，

过点G作 $G H ⊥ B C$ 于点H，

∵ $B E = 4$ ， $B G = E G$ ，

∴ $B H = G H = 2$ ，

∴ $G (- 2 ， 4)$

∵ $△ B P G ≌ △ F P H$ ，

∴ $P G = P H$ ，即点P为 $G H$ 中点，

∴ $P (\frac{a - 5}{4} ， \frac{- a + 13}{4})$ ，

∵ $P (a ， - a + 2)$ ，

∴ $\frac{a - 5}{4} = a$ ，解得： $a = - \frac{5}{3}$ ，

∴ $P (- \frac{5}{3} ， \frac{11}{3})$

2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破11 平行四边形中的分类讨论问题