解：①延长BA至E，使得AE=CD，连接DE，过D作DF⊥EB于F，

∵ $C D \underline{\underline{∥}} A E$ ，∴四边形ACDE是平行四边形

∴ $A C \underline{\underline{∥}} D E$ ∵∠AOB=120°∴∠EDB=120°∵AC=BD∴DE=DB

∴ $∠ D E B = ∠ D B E = \frac{1}{2} \times (180 ° - 120 °) = 30 °$

∵ $D C + A B = 6$ ，∴ $E B = A B + A E = D C + A B = 6$

∵DF⊥BE，∴ $E F = B F = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

在 $R t △ D F E$ 中设DF=x则DE=2x

由勾股定理得 ${(2 x)}^{2} - x^{2} = 3^{2}$ 解得 $x = \sqrt{3}$

∴ $S_{四边形 A B C D} = \frac{1}{2} \cdot (C D + A B) \cdot D F = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ ，

②辅助线同①设CD为m，AB为n．

同① $E B = E A + A B = D C + A B$

∴ $E F = \frac{1}{2} E B = \frac{1}{2} (C D + A B) = \frac{1}{2} (m + n)$

$A F = E F - E A = \frac{1}{2} (m + n) - m = \frac{1}{2} (n - m)$

在 $R t △ A F D$ 中 $D F^{2} = A D^{2} - A F^{2} = x^{2} - {[\frac{1}{2} (n - m)]}^{2}$

在 $R t △ E F D$ 中 $D F^{2} = E D^{2} - E F^{2} = B D^{2} - E F^{2} = y^{2} - {[\frac{1}{2} (n + m)]}^{2}$

即 $x^{2} - {[\frac{1}{2} (n - m)]}^{2} = y^{2} - {[\frac{1}{2} (n + m)]}^{2}$ 整理得 $y^{2} - x^{2} = m n$

∵ $A B \cdot C D = 6$ ，∴ $m n = 6$

代入得 $y^{2} - x^{2} = 6$

命题新趋势5 新定义——2024年浙教版数学八（下）期末复习