解：有四种情况：

①如图1中，

$∵$ 四边形 $P Q R S$ 是正方形，

$∴ P S = P Q$ ，

$∵ P (1 ， 0)$ ，

$∴ Q (1 ， 12)$ ，

$∴ P Q = 12$ ，

$∴ P S = 12$ ，

$∴ O S = 13$ ，

$∴ S (13 ， 0)$ .

②如图2中，

$∵$ 四边形 $P Q R S$ 是正方形，

$∴ Q$ 、 $S$ 关于 $x$ 轴对称，

设 $Q (1 + m ， m)$ 代入 $y = \frac{12}{x}$ 中， $m (m + 1) = 12$ ，

$∴ m = 3$ 或 $- 4$ （舍弃），

$∴ Q (4 ， 3)$ ，

$∴ S (4 ， - 3)$ .

③如图3中，作 $Q E ⊥ x$ 轴于 $E$ .

$∵$ 四边形 $P Q R S$ 是正方形，

$∴ P S = P Q$ ，易证 $Δ P Q E ≅ Δ S P O$ ，

$∴ E Q = O P = 1$ ，

$∴ Q (12 ， 1)$ ，

$∴ P E = S O = 11$ ，

$∴ S (0 ， 11)$ ，

④如图4中，作 $Q E ⊥ x$ 轴于 $E$ ， $Q F ⊥ y$ 轴于 $F$ .

$∵$ 四边形 $P Q R S$ 是正方形，可得 $Δ P Q E ≅ Δ R Q F$ ，

$∴ Q E = Q F$ ， $R F = P E$ ，

设 $Q (n ， n)$ ，则 $Q (2 \sqrt{3}$ ， $2 \sqrt{3})$ ，

$∴ R (0$ ， $4 \sqrt{3} - 1)$ ，设 $S (a ， b)$ ，

则有 $\frac{a + 2 \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 0}{2}$ ， $\frac{b + 2 \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3} - 1 + 0}{2}$ ，

$∴ a = 1 - 2 \sqrt{3}$ ， $b = 2 \sqrt{3} - 1$ ，

$∴ S (1 - 2 \sqrt{3}$ ， $2 \sqrt{3} - 1)$

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破25 反比例函数与几何综合