解：存在，点

D

在点

B

上方，

如图，作 $A H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ， $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，

设 $A (a ， \frac{4}{a})$ ，则 $B (\frac{k a}{4} ， \frac{4}{a})$ ，则 $A H = \frac{4}{a}$ ， $O H = a$ ，

∵四边形 $A O B D$ 为平行四边形，

∴ $B D = A O$ ， $B D / / A O$ ，

∴ $∠ D B F = ∠ B A O$ ，

∵ $A B / / x$ 轴，

∴ $∠ A O H = ∠ B A O$ ，

∴ $△ D B F ≅ △ A O H$ ，

∴ $B F = O H = a$ ， $D F = A H = \frac{4}{a}$ ，

∴ $D (\frac{k a}{4} + a ， \frac{8}{a})$ ，

∴ $(\frac{k a}{4} + a) \cdot \frac{8}{a} = k$ ，

解得 $k = - 8$ ．

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破23 反比例函数k的几何意义