解：①如图，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，

∵在正方形ABCD中，

∴ $∠ D C A = ∠ B C A = 45 °$ ，

∴ $E Q = E P$ ，

∵∵∠QEF+∠FEP=∠FEP+∠PED=90°，

∴ $∠ Q E F = ∠ P E D$ ，

∴ $△ E Q F ≌ △ E P D (A S A)$ ，

∴ $E F = E D$ ，

∴矩形DEFG是正方形；

②连接CG，

∵在正方形ABCD，正方形AEFG中，

∴ $A D = C D ， E D = G D$ ，

∵ $∠ A D E + ∠ E D C = 90 ° ， ∠ C D G + ∠ E D C = 90 °$ ，

∴ $∠ A D E = ∠ C D G$ ，

∴ $△ A D E ≌ △ C D G (S A S)$ ，

∴ $A E = C G = 2 \sqrt{2}$ ，

如图所示，过点E作EM⊥AD于M，则△AEM是等腰直角三角形，

根据勾股定理得 $A M^{2} + E M^{2} = A E^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} = 8$ ，

∴ $A M^{2} = E M^{2} = 4$ ，即 $A M = E M = 2$ ，

∴ $D M = A D - A M = 6 - 2 = 4$ ，

∴ $D E = \sqrt{E M^{2} + D M^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，
即正方形DEFG的边长为 $2 \sqrt{5}$ ．

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破18 正方形与全等模型（2）：垂直模型