解：（Ⅰ）证明：由（1）知：

△ B A E ∽ △ B C D

，

$∴ ∠ A E B = ∠ B D C = 6 0^{∘}$ ，

$∵ △ E B D ∽ △ A B C$ ，

$∴ ∠ B E D = ∠ B A C = 15 0^{∘}$ ，

$∴ ∠ A E D = ∠ B E D - ∠ A E B = 15 0^{∘} - 6 0^{∘} = 9 0^{∘}$ ，

$∴ ▱ A F D E$ 是矩形；

（Ⅱ）如图，

$E F$ 的最大值为： $\frac{2}{3} \sqrt{3} + \frac{2}{3} \sqrt{21}$ ，

理由如下：

作 $△ B C D$ 的外接圆，圆心为 $O$ ，连接 $O A$ 并延长交 $⊙ O$ 于 $D$ ，此时 $A D$ 最大，作 $B G ⊥ A C$

交 $C A$ 的延长线于 $G$ ，

$∵ ∠ B A C = 15 0^{∘}$ ，

$∴ ∠ B A G = 3 0^{∘}$ ，

$∴ B G = \frac{1}{2} A B = \sqrt{3}, A G = \frac{\sqrt{3}}{2} A B = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \sqrt{3} = 3$ ，

$∴ C G = A C + A G = 5$ ，

$∴ B C = \sqrt{B G^{2} + C G^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 5^{2}} = 2 \sqrt{7}$ ，

$∴ ⊙ O$ 的直径为： $\frac{B C}{s i n ∠ B D C} = \frac{2 \sqrt{7}}{s i n 6 0^{∘}} = \frac{2 \sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{21}}{3}$ ，

连接 $O B, O C$ ，作 $O Q ⊥ B C$ 于 $Q$ ，作 $A T ⊥ O Q$ 于 $T$ ，

$∴ O B = O C = \frac{2 \sqrt{21}}{3}, C Q = B Q = \sqrt{7}$ ，

$∵ ∠ C D B = 6 0^{∘}$

$∴ ∠ B O C = 2 ∠ C D B = 12 0^{∘}$ ，

$∴ ∠ O B C = ∠ O C B = 3 0^{∘}$ ，

$∴ O Q = \frac{1}{2} O B = \frac{\sqrt{21}}{3}$ ，

$∵ S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H = \frac{1}{2} A C \cdot B G$ ，

$∴ A H = \frac{A C \cdot B G}{B C} = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，

$∴ C H = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{21}}{7})}^{2}} = \frac{5 \sqrt{7}}{7}$ ，

$∴ A T = Q H = C Q - C H = \sqrt{7} - \frac{5 \sqrt{7}}{7} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，

$∵ O T = O Q - T Q = O Q - A H = \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{7} = \frac{4 \sqrt{21}}{21}$ ，

$∴ O A = \sqrt{O T^{2} + A T^{2}} = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{21}}{21})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{7}}{7})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

$∴ A D_{最大} = O A + O D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ ，

$∵$ 四边形 $A E D F$ 是矩形， $∴ E F = A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ ，

$∴ E F$ 的最大值为： $\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ ．

广东省深圳市2024年中考数学三模试题