解：设

A C

与

B D

相交于点

Q

，如图4，

图4

∵四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $A B = A D$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是正方形，∴ $A C$ 与 $B D$ 互相垂直平分，

∵ $A B = 4 \sqrt{2}$ ，∴ $A Q = B Q = \frac{A B}{\sqrt{2}} = 4$

∴ $A E = B D = A C = 2 A Q = 8$

∵ $E A = E C$ ， $B A = B C$ ，∴ $B E$ 是线段 $A C$ 的中垂线，

又∵ $B D$ 也是线段 $A C$ 的中垂线，∴ $E$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线，

在 $R t △ A E Q$ 中， $∠ A Q E = 90 °$ ， $Q E = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = 4 \sqrt{3}$

∴ $B E = 4 \sqrt{3} - 4$ ，∵ $A F ∥ B E$ ， $A Q ⊥ B E$ ，∴ $△ B E F$ 的 $B E$ 边上的高等于 $A Q = 4$

∴ $S_{△ B E F} = \frac{1}{2} \times 4 \times (4 \sqrt{3} - 4) = 8 \sqrt{3} - 8$ .

备考2024年中考数学重难创新题6 与四边形有关的证明与计算