解：如图，取点D（1，0），连接CD，在 CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，并延长交抛物线于点M，

∵A（－1，0），点D关于y轴对称，

∴AC＝DC，∠ACO＝∠DCO，

∴∠ACD＝2∠ACO＝∠MAB，∠CAD＝∠CDA，

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝∠AED＝∠CAD＝∠CDA，

∴△CAD∽△AED，

∴∠EAD＝∠ACD＝2∠ACO，

设直线CD的解析式为 $y = k x + b_{1}$ ，

$∴ {\begin{array}{l} k + b_{1} = 0 \\ b_{1} = - 3 \end{array}, ∴ {\begin{array}{l} k = 3 \\ b_{1} = - 3 \end{array} .$

∴直线CD的解析式为y＝3x－3，

设E（n，3n－3），

∴AE²＝（n＋1）²＋（3n－3）²＝ $2^{2}$ ，

解得n＝ $\frac{3}{5}$ 或n＝1（舍去），

$∴ E (\frac{3}{5}, - \frac{6}{5})$ ，

设直线AE的解析式为 $y = k_{1} x + b_{2}$ ，

$∴ {\begin{array}{l} - k_{1} + b_{2} = 0 \\ \frac{3}{5} k_{1} + b_{2} = - \frac{6}{5}, \end{array} ∴ {\begin{array}{l} k_{1} = - \frac{3}{4} \\ b_{2} = - \frac{3}{4} \end{array}$

∴直线AE的解析式为 $y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \\ y = x^{2} - 2 x - 3 \end{array}$ ，得 $x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{9}{4} = 0$ ，

解得x＝ $\frac{9}{4}$ 或x＝－1（舍去），

∴M点的坐标为 $(\frac{9}{4}, - \frac{39}{16})$ ，

由对称性可知F点的坐标为 $(\frac{3}{5}, \frac{6}{5})$ 时，直线AF与抛物成的为一个交点也满足题意，

同理可求出此时M点的坐标为 $(\frac{15}{4}, \frac{57}{16})$ ，

综上所述，点M的坐标为 $(\frac{9}{4}, - \frac{39}{16})$ 或 $(\frac{15}{4}, \frac{57}{16})$ ．

广东省东莞市2024年中考数学二模试题