解：是定值，

理由：如图， $∵$ 直线 $G H$ 经过 $K (1 ， 3)$ ，

$∴$ 可设直线 $G H$ 的解析式为 $y = k (x - 1) + 3$ ，

$∵$ $G$ 、 $H$ 在抛物线上，

$∴$ 可设 $G (m ， - m^{2} + 2 m + 3)$ ， $H (n ， - n^{2} + 2 n + 3)$ ，

$∴ k (x - 1) + 3 = - x^{2} + 2 x + 3$ ，

整理得： $x^{2} + (k - 2) x - k = 0$ ，

$∴$ $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ，

$∴ {\begin{array}{l} m + n = 2 - k \\ m n = - k \end{array}$ ，

当 $x = 1$ 时， $y = - 1^{2} + 2 \times 1 + 3 = 4$ ，

$∴ D (1 ， 4)$ ，

设直线 $D G$ 的解析式为 $y = k_{1} x + b_{1}$ ，则有

${\begin{array}{l} m k_{1} + b_{1} = - m^{2} + 2 m + 3 \\ k_{1} + b_{1} = 4 \end{array}$ ，

解得 ${\begin{array}{l} k_{1} = - (m - 1) \\ b_{1} = m + 3 \end{array}$ ，

$∴$ 直线 $D G$ 的解析式为 $y = - (m - 1) x + m + 3$ ，

当 $y = 0$ 时， $- (m - 1) x + m + 3 = 0$ ，

解得： $x = \frac{m + 3}{m - 1}$ ，

$∴ M (\frac{m + 3}{m - 1} ， 0)$ ，

$∴ E M = 1 - \frac{m + 3}{m - 1}$

$= - \frac{4}{m - 1}$ ，

同理可求： $E N = \frac{4}{n - 1}$ ，

$∴ E M \cdot E N = - \frac{4}{m - 1} \cdot \frac{4}{n - 1}$

$= - \frac{16}{m n - (m + n) + 1}$

$= - \frac{16}{2 - k - (- k) + 1}$

$= - \frac{16}{- k - (2 - k) + 1}$

$= 16$ ；

当 $G$ 与 $H$ 对调位置后，同理可求 $E M \cdot E N = 16$ ；

故 $E M \cdot E N$ 的定值为 $16$ ．

广东省惠州市惠东县谭公中学2024年中考数学一模试卷