解：①如图所示，过点

E, D

分别作

x, y

的垂线，交于点

H

，

∵ $A (- 1, 0)$ ， $C (0, - 6)$

∴ $A C = \sqrt{1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{37}$

∴ $s i n ∠ A C O = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$ ， $t a n ∠ A C O = \frac{1}{6}$

设 $∠ A C O = α$ ，

∵ $D F ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ．

∴ $∠ D F C = α$

又∵ $E H ∥ y$ 轴，

∴ $∠ D E H = α$

设直线 $C A$ 的解析式为 $y = k x + b_{1}$ ，代入 $A (- 1, 0)$ ， $C (0, - 6)$

∴ ${\begin{array}{l} - k + b_{1} = 0 \\ b_{1} = - 6 \end{array}$

解得： ${\begin{array}{l} k = - 6 \\ b = 6 \end{array}$

解得： $y = - 6 x - 6$

设直线 $D F$ 的解析式为 $y = - 6 x + b_{2}$ ，

设 $E (n, - n - 1)$ ， $D (m, 2 m^{2} - 4 m - 6)$

将 $D$ 代入 $y = - 6 x + b_{2}$ ，则 $2 m^{2} - 4 m - 6 = - 6 m + b_{2}$

∴ $b_{2} = 2 m^{2} + 2 m - 6$ ，

∴ $H (n, 2 m^{2} - 4 m - 6)$ ，

∴ $E H = - n - 1 - (2 m^{2} - 4 m - 6)$ ， $H D = m - n$

∵ $t a n α = \frac{1}{6}$

∴ $\frac{m - n}{- n - 1 - 2 m^{2} + 4 m + 6} = \frac{1}{6}$

解得： $n = \frac{2 m^{2}}{5} + \frac{2 m}{5} - 1$

∴ $H D = m - n = m - (\frac{2}{5} m^{2} + \frac{2}{5} m - 1) = - \frac{2}{5} m^{2} + \frac{3}{5} m + 1$

$= - \frac{2}{5} {(m - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{49}{40}$

∴ $m = \frac{3}{4}$ 时， $H D$ 的最大值为 $\frac{49}{40}$

则 $E D$ 的最大值为 $\frac{H D}{s i n α} = \frac{49}{40} \sqrt{37}$ ；

②∵ $D F ∥ A C$ ，四边形 $A C D F$ 为等腰梯形，

∴ $A D = C F$ ，

由①可得 $b_{2} = 2 m^{2} + 2 m - 6$

∴ $C F = 2 m^{2} + 2 m = 2 m (m + 1)$ ，

∵ $A (- 1, 0)$ ， $D (m, 2 m^{2} - 4 m - 6)$

∴ $A D^{2} = {(m + 1)}^{2} + {(2 m - 4 m - 6)}^{2}$

$= {(m + 1)}^{2} + 4 {(m + 1)}^{2} {(m - 3)}^{2}$

∵ $A D = C F$ ，

∴ ${(m + 1)}^{2} + 4 {(m + 1)}^{2} {(m - 3)}^{2} = 4 m^{2} {(m + 1)}^{2}$

∵ $m = - 1$

∴ $1 + 4 {(m - 3)}^{2} = 4 m^{2}$

解得： $m = \frac{37}{24}$

∴否存在点 $D$ ，使得四边形 $A C D F$ 为等腰梯形，点 $D$ 的横坐标为 $\frac{37}{24}$ ．

广东省肇庆市四会市2024年中考一模数学试题