解：当

α = 90 °

时，如图所示：

∵ $A B = A C = 2$ ，

∴ $A D = A D^{'} = \frac{1}{2} A B = 1$ ，

∴ $B D = C D^{'} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$ ，

∵ $∠ D A D^{'} = α = 90 °$ ，

又∵ $∠ A D B = ∠ A D^{'} C = 90 °$ ，

∴四边形 $A D E D^{'}$ 是矩形，

∵ $A D = A D^{^{'}}$ ，

∴四边形 $A D E D^{'}$ 是正方形，

∴ $A D = D E = D^{'} E = 1$ ，

∴ $B E = B D - D E = \sqrt{3} - 1$ ，

∴ $E F = B E \times t a n ∠ A B D = (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∵ $∠ D A G = ∠ D A D^{'} - ∠ C A D^{'} = 90 ° - 60 ° = 30 °$ ，

∴ $D G = A D \times t a n ∠ D A G = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴ $S_{四边形 A G E F} = S_{△ A B D} - S_{△ B E F} - S_{△ A D G}$

$= \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (\sqrt{3} - 1) - \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

即两块三角板重叠部分图形的面积为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

2024年中考数学热点探究二十一 动态及轨迹型问题

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