①当

B C^{'} = C C^{'}

时，

△ B C C^{'}

为等腰三角形，如图，

∵ $B C^{'} = C C^{'}$ ，

∴ $∠ B C C^{'} = ∠ C B C^{'} = 30 °$ ，

∴ $∠ A C^{'} B = 60 °$ ，

∴ $△ A B C^{'}$ 是等边三角形，

∴ $A B = A C^{'} = 6 c m$ ，

∴ $C C^{'} = 6 c m$ ；

当 $B C = C C^{'} = 6 \sqrt{3} c m$ 时， $△ B C C^{'}$ 为等腰三角形；

当 $B C = B C^{'}$ 时， $△ B C C^{'}$ 为等腰三角形，

如图，过点B作 $B H ⊥ A C$ 于H，

∵ $∠ A C B = 30 ° ， B H ⊥ A C$ ，

∴ $B H = 3 \sqrt{3} c m ， C H = \sqrt{3} B H = 9 c m$ ，

∵ $B C = B C^{'} ， B H ⊥ A C$ ，

∴ $C C^{'} = 2 C H = 18 c m$ ，

综上所述： $C C^{'}$ 的长为 $6 c m$ ， $6 \sqrt{3} c m$ 或 $18 c m$ ；

②如图5，连接 $D D^{'} ， A D^{'}$ ，

∵四边形 $A B C^{'} D^{'}$ 是平行四边形，

∴ $A D^{'} = B C^{'}$ ，

∴ $B C^{'} + B D^{'} = A D^{'} + B D^{'}$ ，

∵将三角板 $A C D$ 沿 $C A$ 方向平移，

∴ $D D^{'} ∥ A C$ ，

∴ $∠ D A C = ∠ D^{'} D A = 30$ ，

作点A关于直线 $D D^{'}$ 的对称点N，连接 $B N$ ，连接 $A N$ 交直线 $D D^{'}$ 于P，即 $B C^{'} + B D^{'}$ 的最小值为 $B N$ 的长，

过点N作 $N E ⊥$ 直线 $A B$ 于E，

∵点A，点N关于 $D D^{'}$ 对称，

∴ $A P = P N ， A N ⊥ D P$ ，

∵ $∠ D' D A = 30 °$ ，

∴ $A D = 2 A P ， ∠ P A D = 60 °$ ，

∴ $A P = P N = 3 \sqrt{3} ， ∠ E A N = 30 °$ ，

∴ $E N = \frac{1}{2} A N = 3 \sqrt{3} ， A E = \sqrt{3} E N = 9$ ，

∴ $B E = 15$ ，

∴ $B N = \sqrt{E N^{2} + B E^{2}} = \sqrt{225 + 27} = 6 \sqrt{7}$ ，

∴ $B C^{'} + B D^{'}$ 的最小值为 $6 \sqrt{7}$ ．

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