解：①如图3所示：延长

H K

交

B E

于点

Q ，

设 $∠ O B H = α ，$

$∵ O B = O H ，$

$∴ ∠ O B H = ∠ O H B ，$

$∴ ∠ B O Q = 2 α ，$

$∴ ∠ O Q B = 90 ° - 2 α ，$

∵ $△ A B C$ 沿射线 $A C$ 平移得到 $△ D E F ，$

$∴ ∠ D E F = ∠ A B C = α ，$

∵将 $△ D E F$ 沿 $D E$ 折叠得到 $△ D E F^{'} ，$

$∴ ∠ D E F = ∠ D E F^{'} = α ，$

$∵ ∠ B E F = 90 ° ，$

$∴ ∠ B E F^{'} = 90 ° - 2 α ，$

$∵ ∠ O Q B = ∠ B E F^{'} = 90 ° - 2 α ，$

$∴ H K ∥ E F^{'} .$

②如图4所示：连接 $F F^{'} ，$ 交 $E D$ 于点 $N ，$

∵ $△ D E F$ 沿 $D E$ 折叠，点 $F$ 的对称点 $F^{'}$ 恰好落在射线 $B K$ 上，

$∴ E D ⊥ F F^{'} ， F N = \frac{1}{2} F F^{'} ，$

$∵ H K$ 是 $⊙ O$ 的直径，

$∴ ∠ H B K = 90 ° ，$

$∵ B C = E F ， B C = H K ， E F = E F^{'} ，$

$∴ H K = E F^{'} ，$

在 $R t △ H B K$ 和 $R t △ E N F^{'}$ 中，

$∵ {\begin{array}{l} ∠ H B K = ∠ E N F^{'} \\ ∠ B H K = ∠ N E F^{'} \\ H K = E F^{'} \end{array} ，$

$∴ R t △ H B K ≅ R t △ E N F^{'} (A A S) ，$

$∴ B K = N F' ，$

设 $B K = x ，$

$∴ B K = N F^{'} = N F = x ，$

$∵ K F^{'} = 3 ，$

$∴ B F = 3 x + 3 ，$

$∵ ∠ O B A + ∠ A = 90 ° ， ∠ O H B + ∠ H K B = 90 ° ，$

又 $∠ O B A = ∠ O H B ，$

$∴ ∠ A = ∠ H K B ，$

$∵ ∠ H B K = ∠ F C B$

$∴ R t △ H B K ∼ R t △ F C B ，$

$∴ \frac{B K}{B C} = \frac{H K}{B F} ，$

$∴ \frac{x}{6} = \frac{6}{3 x + 3} ，$

$∴ x_{1} = 3 ， x_{2} = - 4$ （舍去），

$∵ H K = 6 ，$

$∴ ∠ B H K = 30 ° ，$

$∴ ∠ A B C = 30 ° ，$

在 $R t △ A B C$ 中，

$∴ A C = B C \cdot t a n 30 ° = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} .$

即 $A C$ 的长为 $2 \sqrt{3} .$

2024年中考数学热点探究八 全等三角形中的常见模型及其证明思路

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