解：①如图，过点P作

P E ⊥ x

轴于点E，

∵ $∠ B A C = 45 °$ ，P点速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，

∴ $A P = \sqrt{2} t$ ， $A E = P E = \frac{\sqrt{2}}{2} A P = t$ ， $C Q = 2 t$ ，

∵点 $C$ 为直线 $x = 3$ 与x轴的交点，

∴ $C (3, 0)$ ， $∠ N C Q = 90 °$ ，

∴t秒时点E坐标为 $(- 1 + t, 0)$ ，Q点坐标为 $(3 - 2 t, 0)$ ，

∴ $E Q = 4 - 3 t$ ，

∵矩形 $P Q N M$ ，

∴ $∠ P Q N = 90 °$ ，

∵ $∠ P Q E + ∠ N Q C = 90 °$ ， $∠ P Q E + ∠ E P Q = 90 °$ ，

∴ $∠ E P Q = ∠ N Q C$ ，

又∵ $∠ P E Q = ∠ N C Q = 90 °$ ，

∴ $△ P Q E ∽ △ Q N C$ ，

∴ $\frac{P Q}{N Q} = \frac{P E}{Q C} = \frac{1}{2}$ ，

∴矩形 $P Q N M$ 的面积 $S = P Q \cdot N Q = 2 P Q^{2}$ ，

∵ $P Q^{2} = P E^{2} + E Q^{2}$ ，

∴ $S = 2 [t^{2} + {(4 - 3 t)}^{2}] = 20 t^{2} - 48 t + 32$ ，

当 $t = - \frac{b}{2 a} = \frac{6}{5}$ 时，

矩形 $P Q N M$ 的面积最小： $= 20 \times {(\frac{6}{5})}^{2} - 48 \times \frac{6}{5} + 32 = \frac{16}{5}$ ；

②当 $t =$ $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7}}{9}$ 或2时，矩形 $P Q N M$ 的顶点落在抛物线上．

广东省珠海市第八中学校2024年中考一模数学试题