证明：如图，过

A

作

G A ⊥ P A

，交

P D

的延长线于

G

，

$∴ ∠ G A P = 90 °$ ，

$∵$ 四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B = 90 °$ ，

$∴$ 四边形 $A B C D$ 是正方形，

$∴ ∠ A D C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，

由（1）得：

$∴ ∠ D P F = 90 ° - \frac{1}{2} \times 90 ° = 45 °$ ，

$∴ ∠ G = ∠ D P F = 45 °$ ，

$∴ A G = A P$ ，

在 $R t △ A G P$ 中， $P G = \sqrt{2} A P$ ，

$∴ D P + D G = \sqrt{2} A P$ ；

$∵ ∠ D A G + ∠ D A P = 90 °$ ，

$∠ B A P + ∠ D A P = 90 °$ ，

$∴ ∠ B A P = ∠ D A G$ ，

在 $△ B A P$ 和 $△ D A G$ 中

${\begin{array}{l} A B = A D \\ ∠ B A P = ∠ D A G \\ A G = A P \end{array}$ ，

$∴$ $△ B A P ≌ △ D A G$ （ $S A S$ ），

$∴ B P = D G$ ，

$∴ B P + D P = \sqrt{2} A P$ ．

在 $R t △ D F P$ 中， $D P = \sqrt{2} F P$ ，

∴ $B P + \sqrt{2} F P = \sqrt{2} (A F + F P)$ ，

∴ $B P = \sqrt{2} F P$ .

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