解：①

△ D E C

是等腰直角三角形，理由：

∵ $B E 、 D F$ 分别平分 $∠ A B C 、 ∠ A D C ，$

∴ $∠ A B E = \frac{1}{2} ∠ A B C ， ∠ F D C = \frac{1}{2} ∠ A D C$

∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形，

∴ $∠ A B C = ∠ A D C ，$

∴ $∠ A B E = ∠ F D C ，$

∵ $∠ A B E = ∠ A E B ，$

$∴ ∠ A E B = ∠ F D C$

由翻折可知 $∠ A E B = ∠ C E G ，$

∴ $∠ C E G = ∠ F D C$

∵ $∠ E M N = ∠ D M C ，$

$∴ ∠ E N M = ∠ D C E = 90 °$

由 $翻折可知： E C = A E ，$

∵ $A E = A B = D C ，$

∴ $E C = D C ，$

$∴ Δ E C D$ 是等腰直角三角形；

②过点D作 $D S ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点S，过点A作 $A Q ⊥ B C$ 于点Q，过点E作 $E T ⊥ B C$ 于点T，

∵ $△ E C D$ 是等腰直角三角形，

∴ $∠ E D C = 45 °$ ，

∵ $∠ A B C = ∠ D C S = 45 °$ ，

∴ $△ A B Q$ 和 $△ D C S$ 是等腰直角三角形，

$∴ A Q = B Q ， D S = C S$

设 $A Q = a ，则 B Q = a ， A B = \sqrt{2} a ，$

∴ $A E = D C = C F = \sqrt{2} a$

在 $R t Δ D C S 中，得 D S = C S = a ，$

∴ $F S = (\sqrt{2} + 1) a$

在 $R t Δ D F S 中， ∵ D S^{2} + F S^{2} = D F^{2} ，$

∴ $a^{2} + {[(\sqrt{2} + 1) a]}^{2} = {(2 + \sqrt{2})}^{2}$

∴ $a^{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

在 $等腰 R t Δ E C D 中， ∵ D C = \sqrt{2} a ，$

∴ $E D = 2 a ，$

∴ $B F = 2 a ，$

∵ $B Q = a ，$

∴ $Q F = a$

∵ $A D ∥ B C$ ， $A Q ⊥ B C ， E T ⊥ B C ，$

∴ $E T = A Q = a$ ， $E T ∥ A Q$

$∴ Q T = A E = \sqrt{2} a$

$∴ F T = (\sqrt{2} - 1) a$

在 $R t Δ E F T 中， E F^{2} = F T^{2} + E T^{2} ，$

∴ $E F^{2} = {[(\sqrt{2} - 1) a]}^{2} + a^{2}$

∴ $E F^{2} = 2 ，$

∵ $E F > 0 ，$
$∴ E F = \sqrt{2}$ ．

2024年人教版中考数学二轮复习 专题14 平行四边形

2024年人教版中考数学二轮复习专题14 平行四边形