解：①证明：由（1）知：

B D = C E

，

$∵ A D = A E$ ， $A F ⊥ D E$ ，

$∴$ 点 $F$ 是 $D E$ 的中点，

$∵ ∠ D A E = 90 °$ ，

$∴ A F = \frac{1}{2} D E$ ，即 $D E = 2 A F$ ，

$∵$ B，D，E三点在同一直线上，

$∴ B E = B D + D E = C E + 2 A F$ ；

②解：如图，延长 $C E$ $、 B$ A交于点K，

$∵ △ A D E$ 是等腰直角三角形，

$∴ ∠ A D E = A E D = 45 °$ ，

$∵ △ A B D ≌ △ A C E$ ，

$∴ ∠ A D B = ∠ A E C = 180 ° - ∠ A D E = 135 °$ ，

$∴ ∠ C E B = A E C - ∠ A E D = 135 ° - 45 ° = 90 °$ ，

$∵ B E$ 是 $∠ A B C$ 平分线，

$∴ ∠ C B E = ∠ A B E$ ，

在 $△ B C E$ 和 $△ B K E$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ C B E = ∠ K B E \\ B E = B E \\ ∠ C E B = ∠ K E B = 90 ° \end{array}$

$∴ △ B C E ≌ △ B K E (A S A)$ ，

$∴ C E = K E = 4$ ，

$∵ B E ⊥ C E$ ，

$∴ ∠ B E C = ∠ B A C = 90 °$ ，

$∵ ∠ B G C = ∠ A C K + ∠ C E G = ∠ A B E + ∠ B A C$ ，

$∴ ∠ A C K = ∠ A B G$ ，

在 $△ A B G$ 和 $△ A K C$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A B G = ∠ A C K \\ B A = C A \\ ∠ G A B = ∠ C A K = 90 ° \end{array}$

$∴ △ A B G ≌ A K C (A S A)$ ，

$∴ B G = C K = C E + K E = 8$ ．

2023-2024学年沪科版初中数学八年级上册 15.3等腰三角形 同步分层训练 培优卷

2023-2024学年沪科版初中数学八年级上册 15.3等腰三角形同步分层训练培优卷