解：分两种情况：

① a

是腰，

b

是底，

$∵ 5 + 5 > 6$ ，

$∴$ 能构成三角形，

如图所示： $△ A B C$ ， $A B = A C = a = 5$ ， $B C = 6$ ，

过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，

$∵ A D ⊥ B C$ ， $A B = A C$ ，

$∴ ∠ A D B = 90 °$ ， $B D = \frac{1}{2} B C = 3$ ，

由勾股定理得：

$A D = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ ，

$∴$ 等腰三角形的面积为： $\frac{1}{2} B C \cdot A D = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ ，

： $① b$ 是腰， $a$ 是底，

$∵ 6 + 5 > 6$

$∴$ 能构成三角形，

如图所示： $△ A B C$ ， $A B = A C = b = 6$ ， $B C = 5$ ，

过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，

$∵ A D ⊥ B C$ ， $A B = A C$ ，

$∴ ∠ A D B = 90 °$ ， $B D = \frac{1}{2} B C = \frac{5}{2}$ ，

由勾股定理得：

$A D = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} = \sqrt{6^{2} - (\frac{5}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{119}}{2}$ ，

$∴$ 等腰三角形的面积为： $\frac{1}{2} B C \cdot A D = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{\sqrt{119}}{2} = \frac{5 \sqrt{119}}{4}$ ，

综上可知：等腰三角形的面积为 $12$ 或 $\frac{5 \sqrt{119}}{4}$ ．

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