猜想：结论仍然成立. 证明：如图，延长

A C

至

E

，使

C E = B M

，连接

D E

.

$∵ B D = C D$ ，且 $∠ B D C = 120 °$ ，

$∴ ∠ D B C = ∠ D C B = 30 °$ .

又 $∵ Δ A B C$ 是等边三角形，

$∴ ∠ M B D = ∠ N C D = 90 °$ .

在 $Δ M B D$ 与 $Δ E C D$ 中： ${\begin{array}{l} B M = C E \\ ∠ M B D = ∠ E C D \\ B D = D C \end{array}$

$∴ Δ M B D ≅ Δ E C D (S A S)$ .

$∴ D M = D E$ ， $∠ B D M = ∠ C D E$ .

$∴ ∠ E D N = ∠ B D C - ∠ M D N = 60 °$ .

在 $Δ M D N$ 与 $Δ E D N$ 中： ${\begin{array}{l} D M = D E \\ ∠ M D N = ∠ E D N \\ D N = D N \end{array}$ ，

$∴ Δ M D N ≅ Δ E D N (S A S)$ .

$∴ M N = N E = N C + B M$ .

$Δ A M N$ 的周长 $Q = A M + A N + M N$

$= A M + A N + (N C + B M)$

$= (A M + B M) + (A N + N C)$

$= A B + A C$

$= 2 A B$ .

而等边 $Δ A B C$ 的周长 $L = 3 A B$ .

$∴$ $\frac{Q}{L} = \frac{2 A B}{3 A B} = \frac{2}{3}$ ；

2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破2 等边三角形的探索类问题