解：①∵点P在x轴正半轴上，

∴ $m > 0$ ，

∴ $B P = m + 1$ ，

由旋转可得： $B D = 2 B P$ ，

∴ $B D = 2 (m + 1)$ ，

过点 $A (1 ， 4)$ 作 $A E ⊥ x$ 轴于点E，

∴ $B E = 2$ ， $A E = 4$ ，

在 $R t △ A B E$ 中， $A B^{2} = B E^{2} + A E^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20$ ，

当四边形 $A B C D$ 为矩形时， $A D ⊥ A B$ ，

∴ $∠ B A D = ∠ B E A = 90 °$ ，

又 $∠ A B E = ∠ D B A$ ，

∴ $△ B A E ∽ △ B D A$ ，

∴ $A B^{2} = B E \cdot B D$ ，

∴ $4 (m + 1) = 20$ ，

解得 $m = 4$ ；

②由题可得点 $A (1 ， 4)$ 与点C关于点 $P (4 ， 0)$ 成中心对称，

∴ $C (7 ， - 4)$ ，

∵点M在直线 $x = 4$ 上，

∴点M的横坐标为4，

存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，

1）、当以 $B C$ 为边时，平行四边形为 $B C M Q$ ，

点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，

∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，

∴ $Q (- 4 ， y_{1})$ 代入 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，

解得： $y_{1} = - 21$ ，

∴ $Q (- 4 ， - 21)$ ，

2）、当以 $B C$ 为边时，平行四边形为 $B C Q M$ ，

点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，

∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，

∴ $Q (12 ， y_{2})$ 代入 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，

解得： $y_{2} = - 117$ ，

∴ $Q (12 ， - 117)$ ，

3）、当以 $B C$ 为对角线时，

点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，

∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，

∴ $Q (2 ， y_{3})$ 代入 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，

得： $y_{3} = 3$ ，

∴ $Q (2 ， 3)$ ，

综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为 $(- 4 ， - 21)$ 或 $(2 ， 3)$ 或 $(12 ， - 117)$ ．

广东省阳江市阳西县2024年中考一模数学试卷