解：如图所示，过点E作

E N ∥ M C

交BC于点N，

∴ $∠ E N B = ∠ M C B$ ，

取BN中点G，连接EG，

∵ $∠ E B C + ∠ M C B = 90 °$ ，

∴ $∠ E N B + ∠ E B N = 90 °$ ，∴ $∠ N E B = 90 °$ ，

∵在 $R t △ N E B$ 中，G为BN中点，设 $G E = G N = G B = r$ ，

∴ $M E = C N = 4 \sqrt{3} - 2 r$ ，

∴当 $E G ⊥ B C$ 时，r取得最小值2．

此时， $∠ E B C = 45 °$ ，ME取得最大值 $4 \sqrt{3} - 4$ ，四边形EBCM的面积最大．

如下图所示，在 $R t △ B O A$ 中， $O B = \frac{1}{2} A B$ ，∴ $∠ O A B = 30 °$ ，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴ $∠ D C B = ∠ O A B = 30 °$

过点C作 $C Q ⊥ M D$ 交DM的延长线于点Q，易知 $C Q = O B = 2$ ，

∵ $∠ E B C = 45 °$ ， $∠ E B C + ∠ M C B = 90 °$ ，

∴ $∠ M C B = 45 °$ ，∴ $∠ Q C M = 45 °$ ， $∠ Q C D = 90 ° - 30 ° = 60 °$ ，

在 $R t △ Q C M$ ， $R t △ Q C D$ 中， $C Q = 2$ ， $∠ Q C M = 45 °$ ， $∠ Q C D = 60 °$ ，

∴ $Q D = 2 \sqrt{3}$ ， $Q M = 2$ ，∴ $M D = Q D - M D = 2 \sqrt{3} - 2$ ．

2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期 第3章 图形与坐标单元 测试B卷

2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期第3章图形与坐标单元测试B卷