解：过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，

∵A（－1，0），B（4，0），
∴ $A B = 5$ ，

∵ $O D = \frac{1}{5} A B$ ，
∴ $O D = 1$ ，

∴点D（1，0），
∴ $A D = 2 ， B D = 3$ ，

∵ $A M / / B N$ ，
∴ $∠ M A D = ∠ N B D$ ， $∠ A M D = ∠ B N D$ ，

∴ $△ M A D ∽ △ N B D$ ，
∴ $\frac{M D}{N D} = \frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ，

∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，

∴ $∠ M S D = ∠ N T D = 90 °$ ，

∵ $∠ M D S = ∠ N D T$ ，
∴ $△ M D S ∽ △ N D T$ ，

∴ $\frac{D S}{D T} = \frac{M D}{N D} = \frac{2}{3}$ ， $\frac{x_{M} - x_{D}}{x_{D} - x_{N}} = \frac{2}{3}$ ，

∵A（－1，0），

∴可设直线AM的表达式为 $y = k (x + 1)$ ）．

∴联立 ${\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2 \\ y = k (x + 1) \end{cases}$
得 $\frac{1}{2} x^{2} + (k - \frac{3}{2}) x + k - 2 = 0$

∴ $x_{A} + x_{M} = - 2 k + 3$ ，
∴ $x_{M} = - 2 k + 4$ ，

同理可得： $x_{N} = - 2 k - 1$ ，

∴ $\frac{- 2 k + 4 - 1}{1 - (- 2 k - 1)} = \frac{2}{3}$ ，解得 $k = \frac{1}{2}$ ，

∴ $x_{M} = - 2 \times \frac{1}{2} + 4 = 3$ ，
∴ $y_{M} = \frac{1}{2} \times (3 - 1) = 2$ ，

∴点M（3，2），

∵D（1，0），
可设直线NM的表达式为 $y = m x + n$ ，

∴ ${\begin{cases} 2 = 3 m + n \\ 0 = m + n \end{cases}$ ，
解得 ${\begin{cases} 2 = 3 m + n \\ 0 = m + n \end{cases}$ ，

∴直线MN表达式为 $y = x - 1$ ．

2024年吉林省中考数学模拟卷（一）