解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴FD∥BG，

又∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形，

∵DF=BF，

∴四边形BFDG是菱形；

②∵AB=3，AD=4，

∴BD=5．

∴OB= $\frac{1}{2}$ BD= $\frac{5}{2}$ ．

假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．

∴在直角△ABF中，AB²+AF²=BF²，即3²+（4-x）²=x²，

解得x= $\frac{25}{8}$ ，

即BF= $\frac{25}{8}$ ，

∴FO= $\sqrt{B F^{2 -} O B^{2}}$ = $\sqrt{{(\frac{25}{8})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}$ = $\frac{15}{8}$ ，

∴FG=2FO= $\frac{15}{4}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练提升题