解：① 点E所在的直线的解析式为

y = x - 4

；

②连接AE，由题意可知△ADE为等腰直角三角形，则 $∠ D A E = 4 5^{°}$ ，

$∵$ 四边形OACB为正方形，

$∴ ∠ B A C = ∠ D A E = 4 5^{°}$ ，

$∴ ∠ E A C = ∠ B A D$ ，此时点H与点E重合，

$∵$ 点D是线段OB的中点，

$∴ O D = B D = 2$ ，

$∴$ 点E的坐标为 $(6 ， 2)$ ，

设直线AE的解析式为y=k x+b，把A(0，4)， E(6，2) 代入，

${\begin{array}{l} 6 k + b = 2 \\ b = 4 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} k = - \frac{1}{3} \\ b = 4 \end{array}$ ，

$∴$ 直线AE的解析式为 $y = - \frac{1}{3} x + 4$ ，

当 $x = 4$ 时， $y = \frac{8}{3}$ ，

$∴$ 点M的坐标为 $(4 ， \frac{8}{3})$ ，

作点M关于直线AC 的对称点N，可得 $N (4 ， \frac{16}{3})$ ，

此时 $∠ N A C = ∠ E A C = ∠ B A D$ ，所以点H为直线AN与BE的交点，

$∴$ 直线AN的解析式为 $y = \frac{1}{3} x + 4$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = \frac{1}{3} x + 4 \\ y = x - 4 \end{array}$ ，
解得 ${\begin{array}{l} x = 12 \\ y = 8 \end{array}$ ，

$∴$ 点H的坐标为 $(12 ， 8)$ ，

综上所述，点H的坐标为 $(6 ， 2)$ 或 $(12 ， 8)$ .

2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.3 矩形 菱形 正方形同步分层训练培优题

2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 19.3 矩形菱形正方形同步分层训练培优题