解：∵

y = x^{2} - 6 x + 8 = {(x - 3)}^{2} - 1

，

∴对称轴为 $x = 3$ ．

设 $P (m ， m^{2} - 6 m + 8)$ ，

∵ $P M ⊥ l$ ，

∴ $M (3 ， m^{2} - 6 m + 8)$ ，

连接MT，则 $M T ⊥ P T$ ，

∴ $P T^{2} = P M^{2} - M T^{2} = {(m - 3)}^{2} - r^{2}$ ，

过点P作 $P H ⊥ x$ 轴，垂足为H，

则 $S_{△ P A B} = \frac{1}{2} A B \cdot P H = m^{2} - 6 m + 8$ ，

∴ ${(m - 3)}^{2} - r^{2} = m^{2} - 6 m + 8$ ，

∵ $r > 0$ ，

∴ $r = 1$ ．

假设 $⊙ M$ 经过点 $N (3 ， 3)$ ，则有两种情况：

①如图，当点M在点N的上方，

∴ $M (3 ， 4)$ ，

∴ $m^{2} - 6 m + 8 = 4$ ，

解得 $m_{1} = 3 + \sqrt{5}$ ， $m_{2} = 3 - \sqrt{5}$ ，

∵ $m > 4$ ，

∴ $m = 3 + \sqrt{5}$ ．

②如图，当点M在点N的下方，

∴ $M (3 ， 2)$ ，

∴ $m^{2} - 6 m + 8 = 2$ ，

解得 $m = 3 \pm \sqrt{3}$ ，

∵ $m > 4$ ，

∴ $m = 3 + \sqrt{3}$ ，

综上所述， $P M = m - 3 = \sqrt{5}$ 或 $\sqrt{3}$ ，

∴当 $⊙ M$ 不经过点 $N (3 ， 3)$ 时，PM长的取值范围为： $1 < P M < \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3} < P M < \sqrt{5}$ 或 $P M > \sqrt{5}$ ．

（特别说明：答案是 $P M > 1$ ，且 $P M \neq \sqrt{5}$ 且 $P M \neq \sqrt{3}$ ，也可以）．

备考2024年中考数学核心素养专题十九 圆的动态几何问题

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