解：

①

证明：如图

2

，

$∵$ 直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，联立得：

$\{\begin{array}{l} y = \frac{1}{4} x \\ y = \frac{1}{x} \end{array}$ ，

解得： $\{\begin{array}{l} x_{1 =} 2 \\ y_{1} = \frac{1}{2} \end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l} x_{2 =} - 2 \\ y_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$ ，

$∴ A (2 ， \frac{1}{2})$ 、 $B (- 2 ， - \frac{1}{2})$ ；

$∵ C$ 的横坐标 $n$ ，且在双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，

$∴ C$ 的坐标为 $C (n ， \frac{1}{n})$ ，

设直线 $B C$ 的解析式为 $y = k x + b$ ，将 $B$ 、 $C$ 代入得：

$\{\begin{array}{l} \frac{1}{n} = n k + b \\ - \frac{1}{2} = - 2 k + b \end{array}$ ，

解得： $\{\begin{array}{l} k = \frac{1}{2 n} \\ b = \frac{2 - n}{2 n} \end{array}$ ，

$∴ B C$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2 n} x + \frac{2 - n}{2 n}$ ，

$∴$ 当 $y = 0$ 时， $x = n - 2$ ，即 $D (n - 2，0)$ ；

$∴$ 设直线 $A C$ 的解析式为 $y = e x + f$ ，将 $A$ 、 $C$ 代入得：

$\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} = 2 e + f \\ \frac{1}{n} = n e + f \end{array}$ ，

解得： $\{\begin{array}{l} e = - \frac{1}{2 n} \\ f = \frac{2 + n}{2 n} \end{array}$ ，

$∴ A C$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{2 n} x + \frac{2 + n}{2 n}$ ，

$∴$ 当 $y = 0$ 时， $x = n + 2$ ，即 $E (n + 2，0)$ ，

过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线 $C M$ ，

$∴ M D = n - (n - 2) = 2$ ， $M E = n + 2 - n = 2$ ，

$∴ M D = M E$ ，

$∴ C M$ 垂直平分 $D E$ ，

$∴ D C = E C$ ，

$∴ ∠ C D A = ∠ C E D$ ，

$∴$ 直线 $A C$ 与直线 $B C$ 为“等腰三角线”；

$②$ 解：设 $C M$ 交 $E F$ 于点 $N$ ，如图 $3$ ，

$∵$ 直线 $A C$ 与直线 $B C$ 为“等腰三角线”，

$∴ C M$ 平分 $∠ D C E$ ， $C M$ 垂直平分 $D E$ ，

$∵ D F ⊥ x$ 轴，

$∴ D F / / C M$ 轴，

$∴ ∠ F D C = ∠ D C M = ∠ E C M$ ，

$∴ △ D F E$ ∽ $△ M N E$ ，

$∴ \frac{M N}{D F} = \frac{E N}{E F} = \frac{E M}{E D} = \frac{1}{2}$ ，

$∴ D E + E F = 2 (E M + E N)$ ，

$∵ ∠ E F D = ∠ D C A$ ，

$∴ ∠ F D C = ∠ C E F$ ，

$∴ ∠ F D C = ∠ D C M = ∠ E C M = ∠ C E F$ ，即 $∠ M C E = ∠ C E F$ ，

$∴ C N = N E$ ，

在 $R t △ M N E$ 中，由勾股定理得：

$E N^{2} = 2^{2} + (\frac{1}{n} - E N)^{2}$ ，

解得： $E N = 2 n + \frac{1}{2 n}$ ，

$∴ D E + E F = 2 (E M + E N) = 2 (2 + 2 n + \frac{1}{2 n}) = 4 + 4 n + \frac{1}{n}$ ．

备考2024年中考数学核心素养专题十五 反比例函数的动态几何问题

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