解：如图所示，过点

P

作

P H ⊥ A B

交

A B

延长线于

H

，

由折叠的性质可得 $E F ⊥ D G$ ，

由（1）可知， $\frac{E F}{D G} = \frac{A B}{A D}$ ，即 $\frac{\frac{4 \sqrt{10}}{3}}{D G} = \frac{4}{6}$ ，解得 $D G = 2 \sqrt{10}$ ，

∴在 $R t △ A D G$ 中，由勾股定理得 $A G = \sqrt{D G^{2} - A D^{2}} = 2$ ，

∴ $B G = 2$ ，

由折叠的性质可得， $D E = G E$ ， $G P = C D = A B = 4$ ， $∠ E G P = ∠ A D C = 90 °$ ，

设 $D E = G E = x$ ，则 $A E = A D - D E = 6 - x$ ，

∴在 $R t △ A G E$ 中，由勾股定理得 $A G^{2} + A E^{2} = G E^{2}$ ，

∴ $2^{2} + {(6 - x)}^{2} = x^{2}$ ，

解得 $x = \frac{10}{3}$ ，

∴ $D E = G E = \frac{10}{3}$ ， $A E = \frac{8}{3}$ ，

∵ $∠ A G E + ∠ A E G = 90 ° = ∠ A G E + ∠ H G P$ ，

∴ $∠ A E G = ∠ H G P$ ，

又∵ $∠ E A G = ∠ G H P = 90 °$ ，

∴ $△ A E G ∽ △ H G P$ ，

∴ $\frac{A G}{H P} = \frac{E G}{G P} = \frac{A E}{G H}$ ，即 $\frac{2}{H P} = \frac{\frac{10}{3}}{4} = \frac{\frac{8}{3}}{G H}$ ，

解得 $H P = \frac{12}{5}$ ， $G H = \frac{16}{5}$ ，

∴ $B H = H G - B G = \frac{6}{5}$ ，

在 $R t △ H B P$ 中，由勾股定理得 $B P = \sqrt{B H^{2} + P H^{2}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ．

备考2024年中考数学探究性训练专题22 图形的轴对称