解：如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到

A^{′} P^{′} C

，

则 $∠ A C P = ∠ A^{′} C P^{′} ， ∠ A C P + ∠ A C P^{′} = 60 °$ ，

在 $R t △ A B C$ 中， $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} = 4 \sqrt{3}$ ，

$∵ A C = \frac{1}{2} B C ， ∴ ∠ A B C = 30 ° ， ∠ A C B = 60 °$ ，

$∴ ∠ A C P + ∠ B C P = 60 °$ ，

又∵ $∠ A C P = ∠ A^{′} C P^{′} ， ∠ A C P + ∠ A C P^{′} = 60 °$ ，

$∴ ∠ A C P^{′} + ∠ A^{′} C P^{′} = 60 °$ ， $∴ B C P + ∠ A C P + ∠ A C P^{′} + ∠ A^{′} C P^{′} = 120 °$ ，

过 $A^{^{'}}$ 作 $A^{'} D$ ⊥BC交BC的延长线于点D，

则 $∠ A^{′} C D = ∠ B C D - ∠ B C A ′ = 180 ° - 120 ° = 60 °$ ，

$∴ ∠ C A^{′} D = 30 °$ ，

$∵ A^{′} C = A C = 2 \sqrt{3} ，$ $∴ C D = \sqrt{3}$ （30°所对的直角边等于斜边的一半），

$∴ A^{′} D = \sqrt{A^{′} C^{2} - C D^{2}} = 3$ ，

$∵ ∠ P C P ′ = 60 ° ， P C = C P ′$ ， $∴ △ C P P^{'}$ 为等边三角形，

当B、P、 $P^{'}$ 、 $A ′$ 四点共线时， $P A + P B + P C$ 和最小，

在 $R t △ B D A ′$ 中， $B D = B C + C D = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} ， D A ′ = 3$ ，

$∴ B A ′ = \sqrt{B D^{2} + D A ′^{2}} = \sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}} = 2 \sqrt{21}$ ，

∴ $P A + P B + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{21}$

2024年北师大版数学八（下）期中专项复习2 直角三角形