解：分两种情况：①当M在BP的下方时，如图：

设∠PBG＝x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABG＝4x，∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABG＝180°，∵AG平分∠BAD，∴2∠DAG＋4x＝180°，∴2x＋∠DAG＝90°，∵∠PBM＋∠DAG＝90°，∴∠PBM＝2x，∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，∴

\frac{∠ A B M}{∠ G B M}

＝5；

②当M在BP的上方时，如图：

设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，

同理可得：∠PBM＝2x，

∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，

∴ $\frac{∠ A B M}{∠ G B M} = \frac{1}{3}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.3 平行线的性质同步分层训练培优题