解：①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，

∴S_△BEQ＝ $\frac{1}{3}$ S_△BDE或S_△BEQ＝ $\frac{2}{3}$ S_△BDE.

在y＝ $\frac{3}{4}$ x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6.

∴B（0，3），D（4，6）.

在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6.

∴E（0，﹣6）.

∴BE＝9.

如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4.

∴S_△BDE＝ $\frac{1}{2}$ BE•DH＝ $\frac{1}{2}$ ×9×4＝18.

∴S_△BEQ＝ $\frac{1}{3}$ ×18＝6或S_△BEQ＝ $\frac{2}{3}$ ×18＝12.

设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0.

过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t.

∴ $\frac{1}{2}$ ×9×t＝6或 $\frac{1}{2}$ ×9×t＝12.

解得t＝ $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{8}{3}$ .

当t＝ $\frac{4}{3}$ 时，3t﹣6＝﹣2；当t＝ $\frac{8}{3}$ 时3t﹣6＝2.

∴Q的坐标为（ $\frac{4}{3}$ ，﹣2）或（ $\frac{8}{3}$ ，2）.

②当点D落在x正半轴上（记为点D₁）时，如图2中.

由（2）知B（0，3），D（4，6），

∴BH＝BO＝3.

由翻折得BD＝BD₁.

在Rt△DHB和Rt△D₁OB中，

${\begin{cases} B H = B O \\ B D = B D_{1} \end{cases}$ ，

∴Rt△DHB≌Rt△D₁OB.

∴∠DBH＝∠D₁BO.

由翻折得∠DBQ＝∠D₁BQ.

∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°.

∴BQ∥x轴.

∴点Q的纵坐标为3.

在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3.

∴Q（3，3），

当点D落在y负半轴上（记为点D₂）时，如图3中.

过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N.

由翻折得∠DBQ＝∠D₂BQ.

∴QM＝QN.

由（2）知S_△BDE＝18，即S_△BQD+S_△BQE＝18.

∴ $\frac{1}{2}$ BD•QM+ $\frac{1}{2}$ BE•QN＝18.

在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ $\sqrt{B H^{2} + D H^{2}}$ ＝ $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ ＝5.

∴ $\frac{1}{2}$ ×5•QN+ $\frac{1}{2}$ ×9•QN＝18.

解得QN＝ $\frac{18}{7}$ .

∴点Q的横坐标为 $\frac{18}{7}$ .

在y＝3x﹣6中，当x＝ $\frac{18}{7}$ 时，y＝ $\frac{12}{7}$ .

∴Q（ $\frac{18}{7}$ ， $\frac{12}{7}$ ）.

综合知，点Q的坐标为（3，3）或（ $\frac{18}{7}$ ， $\frac{12}{7}$ ）.

2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.3 一次函数的图像同步分层训练培优题