解：

∵ m ： n = 1 ： 2 ，

设 $m = x ， n = 2 x ，$

则 $∠ A O B = m = x ， ∠ M O P = n = 2 x ，$

$∵ O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”是 $4 2^{∘}$ ，

①当 $∠ P O B = 42 °$ 是 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”， $O P$ 在 $∠ M O B$ 之间时，

如图， $2 x + 42 ° + x = 180 °$ ，

$x = 46 °$ ， $m = 46 °$ ，

则 $∠ P O B = 42 ° ， ∠ P O A = 46 ° + 42 ° = 88 °$ ，

$∠ P O B < ∠ P O A$ ，符合要求；

当 $∠ P O B = 42 °$ 是 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”， $O P$ 在 $∠ A O B$ 之间时，

如图， $x + 2 x - 42 ° = 180 °$ ，

$x = 74 °$ ， $m = 74 °$ ，

则 $∠ P O B = 42 ° ， ∠ P O A = 74 ° - 42 ° = 32 °$ ，

$∠ P O B > ∠ P O A$ ，不符合要求；

②当 $∠ A O P = 42 °$ 是 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”， $O P$ 在 $∠ A O N$ 之间时，如图，

$2 x - 42 ° = 180 °$ ，

$x = 111 °$ ， $m = 111 °$ ；

则 $∠ P O A = 42 ° ， ∠ P O B = 111 ° + 42 ° = 153 °$ ， $∠ P O A < ∠ P O B$ ，故符合题意；

当 $∠ A O P = 42 °$ 是 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”， $O P$ 在 $∠ A O B$ 之间时，

如图， $x + 2 x - (x - 42 °) = 180 °$ ，

$x = 69 °$ ；

则 $∠ P O A = 42 ° ， ∠ P O B = 69 ° - 42 ° = 27 °$ ， $∠ P O A > ∠ P O B$ ，故不符合题意；

③当 $∠ P O A = ∠ P O B = 42 °$ 时， $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”是 $42 °$ ，

此时 $m = 2 ∠ P O A = 84 ° ， n = 2 \times 84 ° = 168 °$ ，不符合题意；

综上， $m = 46 °$ 或 $111 °$ ．

备考2024年中考数学探究性训练专题17 图形的初步认识