解：①如图2中，

∵ $H N ⊥ E M$ ，

∴ $∠ H N E = 90 °$ ，

∵ $α = 40 °$ ，

∴ $∠ E H N = 90 ° - ∠ H E N = 40 °$ ．

∴ $∠ H E N = 50 °$ ，

∵ $E H$ 平分 $∠ F E G$ ，

∴ $∠ H E F = ∠ H E G$ ，

∵ $∠ A E M = ∠ E M F$ ，

∴ $∠ H E N = \frac{1}{2} ∠ F E G + \frac{1}{2} ∠ A E F = \frac{1}{2} ∠ A E G = 50 °$ ，

∴ $∠ A E G = 100 °$ ，则 $∠ G E B = 80 °$ ，

∵ $A B ∥ C D$ ，

∴ $∠ B E G = ∠ E G H = β = 80 °$ ；

②猜想： $α = \frac{1}{2} β$ 或 $α = 90 ° - \frac{1}{2} β$

理由：（1）当点G在F的右侧时，

∵ $A B ∥ C D$ ，

∴ $∠ B E G = ∠ E G H = β$ ，

∴ $∠ A E G = 180 ° - β$ ，

∵ $∠ A E M = ∠ M E F ， ∠ H E F = ∠ H E G$ ，

∴ $∠ H E N = ∠ M E F + ∠ H E F = \frac{1}{2} ∠ A E G = 90 ° - \frac{1}{2} β$ ，

∵ $H N ⊥ E M$ ，∴ $∠ H N E = 90 °$ ，

∴ $α = ∠ E H N = 90 ° - ∠ H E N = \frac{1}{2} β$ ．
（2）当点G在F的左侧时，

∵ $A B ∥ C D$ ，

∴ $∠ B E G = 180 ° - ∠ E G H = 180 ° - β ， ∠ A E G = ∠ E G H = β$ ，

∵ $E M$ 平分 $∠ A E F$ ， $E H$ 平分 $∠ F E G$ ，

∵ $∠ M E F = ∠ A E M = ∠ E M F = \frac{1}{2} ∠ A E F ， ∠ H E F = ∠ H E G = \frac{1}{2} ∠ F E G$ ，

∴ $∠ H E N = ∠ M E F - ∠ H E F = \frac{1}{2} (∠ A E F - ∠ F E G) = \frac{1}{2} ∠ A E G = \frac{1}{2} β$ ，

∵ $H N ⊥ E M$ ，

∴ $∠ H N E = 90 °$ ，

∴ $α = ∠ E H N = 90 ° - ∠ H E N = 90 ° - \frac{1}{2} β$ ．

综上所述， $α = \frac{1}{2} β$ 或 $α = 90 ° - \frac{1}{2} β$ ．

2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第五章 相交线与平行线 单元测试 B卷

2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期第五章相交线与平行线单元测试 B卷