解：∵

∠ G B P = ∠ H G P = ∠ B O H

，

又 $∠ O G H + ∠ H G P = ∠ G B P + ∠ B P G$ ，

∴ $∠ O G H = ∠ B P G$ ，

∴ $△ O G H ∽ △ B P G$ ，

∴ $\frac{O H}{B G} = \frac{O G}{B P}$ ，

设 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $S$ ，过点 $B$ 作 $B T ⊥ x$ 轴于点 $T$ ，

∵ $∠ G B P = ∠ B O H$ ，

∴ $S B = S O$ ，

∵ $O T = 4 ， B T = 8$ ，

∴ $O B = \sqrt{O T^{2} + B T^{2}} = 4 \sqrt{5}$ ，

设 $B S = k$ ，则 $T S = k - 4$ ，

在 $R t △ T B S$ 中， $S B^{2} = S T^{2} + B T^{2}$ ，

∴ $k^{2} = {(k - 4)}^{2} + 8^{2}$ ，

解得： $k = 10$ ，

∴ $S (10 ， 0)$ ，

设直线 $B S$ 的解析式为 $y = e x + f$ ，

∴ ${\begin{array}{l} 10 e + f = 0 \\ 4 e + f = 8 \end{array}$ ，

∴ ${\begin{array}{l} e = - \frac{4}{3} \\ f = \frac{40}{3} \end{array}$ ，

∴直线 $B S$ 的解析式为 $y = - \frac{4}{3} x + \frac{40}{3}$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{2} x + 8 \\ y = - \frac{4}{3} x + \frac{40}{3} \end{array}$ ，

解得： ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 8 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = \frac{32}{3} \\ y = - \frac{8}{9} \end{array}$ ，

∴ $P (\frac{32}{3} ， - \frac{8}{9})$ ，

∴ $P B = \sqrt{{(\frac{32}{3} - 4)}^{2} + {(8 + \frac{8}{9})}^{2}} = \frac{100}{9}$ ，

∵ $\frac{O H}{B G} = \frac{O G}{B P}$ ，

设 $O G = n$ ，则 $B G = O B - O G = 4 \sqrt{5} - n$ ，

∴ $\frac{m}{4 \sqrt{5} - n} = \frac{n}{\frac{100}{9}}$ ，

整理得： $m = - \frac{9 n^{2} - 36 \sqrt{5} n}{100} = - \frac{9}{100} n^{2} + \frac{9 \sqrt{5}}{25} n = - \frac{9}{100} {(n - 2 \sqrt{5})}^{2} + \frac{9}{5}$ ，

∵ $G$ 在线段 $O B$ 上（与点 $O ， B$ 不重合），

∴ $0 < O G < 2 \sqrt{5}$ ，

∴ $0 < n < 2 \sqrt{5}$ ，

∴当 $n = 2 \sqrt{5}$ 时， $m$ 取得的最大值为 $\frac{9}{5}$ ，

∴ $0 < m < \frac{9}{5}$ ．

2023年湖北省中考数学真题分类汇编：04 图形与几何