【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 $\text{[math]}$ ，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ .

又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 最小值为 ▲ .

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 $\text{[math]}$ 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .

备考2024年中考数学核心素养专题十二 几何图形的最值问题

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