如图所示，连接

A D

，交

B E

于点

F

，

∵折叠，

∴ $E A = E D$ ， $A F = F D$ ， $A E = \frac{1}{2} A C = 2$ ， $A D ⊥ B E$ ，

∵ $E$ 是 $A C$ 的中点，

∴ $E A = E C$ ，

∴ $E F = \frac{1}{2} C D = \frac{3}{2}$ ，

在 $R t △ A E F$ 中， $A F = \sqrt{A E^{2} - E F^{2}} = \sqrt{2^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，

在 $R t △ A B F$ 中， $B F = \sqrt{A B^{2} - A F^{2}} = \sqrt{4^{2} - {(\frac{\sqrt{7}}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{57}}{2}$ ，

∴ $B E = B F + E F = \frac{3 + \sqrt{57}}{2}$ ；

问题2：如图所示，连接 $A D$ ，过点 $B$ 作 $B M ⊥ A D$ 于点 $M$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ B M$ 于点 $G$ ，

∵ $A B = B D$ ，

∴ $A M = M D$ ， $∠ A B M = ∠ D B M = \frac{1}{2} ∠ A B D$ ，

∵ $2 ∠ B D C = ∠ A B D$ ，

∴ $∠ B D C = ∠ D B M$ ，

∴ $B M ∥ C D$ ，

∴ $C D ⊥ A D$ ，

又 $C G ⊥ B M$ ，

∴四边形 $C G M D$ 是矩形，

则 $C D = G M$ ，

在 $R t △ A C D$ 中， $C D = 1$ ， $A D = 4$ ， $A D = \sqrt{A C^{2} - C D^{2}} = \sqrt{4^{2} - 1^{2}} = \sqrt{15}$ ，

∴ $A M = M D = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ， $C G = M D = \frac{\sqrt{15}}{2}$

在 $R t △ B D M$ 中， $B M = \sqrt{B D^{2} - D M^{2}} = \sqrt{4^{2} - {(\frac{\sqrt{15}}{2})}^{2}} = \frac{7}{2}$ ，

∴ $B G = B M - G M = B M - C D = \frac{7}{2} - 1 = \frac{5}{2}$ ，

在 $R t △ B C G$ 中， $B C = \sqrt{B G^{2} + C G^{2}} = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{15}}{2})}^{2}} = \sqrt{10}$ ．

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