P M

与

P N

的和是定值；

如图 $2$ ，连接直线 $P Q$ ，

$∵$ 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4 x$ 交 $x$ 轴于 $O$ ， $A$ 两点，

$∴ O (0 ， 0)$ ， $A (2 ， 0)$ ，

$∵ y = - 2 x^{2} + 4 x = - 2 (x - 1)^{2} + 2$ ，

$∴$ 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 4 x$ 的顶点为 $(1 ， 2)$ ，

$∵$ 点 $P$ 是点 $Q (1 ， 0)$ 关于抛物线顶点 $(1 ， 2)$ 的对称点，故点 $P$ 的坐标为 $(1 ， 4)$ ，

由点 $P$ 、 $O$ 的坐标得，直线 $O P$ 的表达式为 $y = 4 x ①$ ，

同理可得，直线 $A P$ 的表达式为 $y = - 4 x + 8 ②$ ，

设直线 $l$ 的表达式为 $y = t x + n$ ，

联立 $y = t x + n$ 和 $y = - 2 x^{2} + 4 x$ 并整理得： $2 x^{2} + (t - 4) x + n = 0$ ，

$∵$ 直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，

故 $Δ = (t - 4)^{2} - 8 n = 0$ ，解得 $n = \frac{1}{8} (t - 4)^{2}$ ，

故直线 $l$ 的表达式为 $y = t x + \frac{1}{8} (t - 4)^{2} ③$ ，

联立 $① ③$ 并解得 $x_{M} = - \frac{1}{8} (t - 4)$ ，

同理可得， $x_{N} = - \frac{1}{8} (t - 12)$ ，

$∵$ 射线 $P O$ 、 $P A$ 关于直线 $P Q$ ： $x = 1$ 对称，则 $∠ A P Q = ∠ O P Q$ ，设 $∠ A P Q = ∠ O P Q = α$ ，

则 $s i n ∠ A P Q = s i n ∠ O P Q = \frac{O Q}{O P} = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = s i n α$ ，

$∴ P M + P N = \frac{1 - x_{M}}{s i n α} + \frac{x_{N} - 1}{s i n α} = \sqrt{17} (x_{N} - x_{M}) = \sqrt{17}$ 为定值．

备考2024年中考数学核心素养专题九 数与式的探究型问题

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