作直线

A F

交抛物线于

G

，如图：

∵ $C (0 ， \sqrt{3})$ ， $B (3 ， 0)$ ，∴ $O B = 3$ ， $O C = \sqrt{3}$ ，

∴ $t a n ∠ O B C = \frac{O C}{O B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，∴ $∠ O B C = 30 °$ ，

∵ $E F$ 是抛物线的对称轴，∴ $∠ F A B = ∠ F B A = 30 °$ ，

∴ $∠ G F B = 2 ∠ O B C = 60 ° = ∠ D F B$ ，

∴直线 $A F$ 与直线 $E F$ 关于直线 $B C$ 成轴对称，

∴点 $G$ 是点 $D$ 关于直线 $B C$ 的对称点，

∵ $E F = \frac{\sqrt{3}}{3} E B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，∴ $F (2 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，

设直线 $A F$ 的解析式为 $y = k x + b$ ，将 $A (1 ， 0)$ ， $F (2 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 代入得：

∴ ${\begin{array}{l} k + b = 0 \\ 2 k + b = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} k = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ b = - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$ ，

∴直线 $A F$ 的解析式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

由 ${\begin{array}{l} y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3} \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = \sqrt{3} \end{array}$ ，

∴ $G$ 坐标为 $(1 ， 0)$ 或 $(4 ， \sqrt{3})$ ．

广东省佛山市梁桂凤纪念中学2023年中考数学一模试卷