解：

∵ △ E C F ≌ △ P C F

，

$∴ E F = P F$ ，

同理可证： $G F = P F$ ，

$∴ E F = G F$ ，

$∵ ∠ E F G = 120 °$ ， $E F = 2 \sqrt{7}$ ，

$∴ E G = \sqrt{3} E F = 2 \sqrt{21}$ ，

$∵$ 点 $C$ ， $D$ 分别是线段 $A P$ ， $B P$ 的中点，等边三角形 $△ A C E$ ， $△ C D F$ ， $△ D B G$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，

$∴ P C = A C = C E = a$ ， $P D = B D = D G = c$ ， $∠ E C P = ∠ P D G = 120 °$ ，

$∴ E P = \sqrt{3} P C = \sqrt{3} a$ ， $P G = \sqrt{3} P D = \sqrt{3} c$ ，

$∴ E P + P G = \sqrt{3} (a + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} A B = 6 \sqrt{3}$ ，

$∴ E G + E P + P G = 2 \sqrt{21} + 6 \sqrt{3}$ ．

如图 $4$ 中，过点 $F$ 作 $F H ⊥ C E$ 交 $C E$ 的延长线于点 $H$ ．

$∵ C F = C D = b = \frac{1}{2} A B = 6$ ， $∠ E C F = 60 °$ ，

$∴ F H = C F \cdot s i n 60 ° = 3 \sqrt{3}$ ， $C H = C F \cdot c o s 60 ° = 3$ ，

在 $R t △ E F H$ 中， $H E = \sqrt{E F^{2} - F H^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{7})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}} = 1$ ，

$∴ C E = C H - H E = 3 - 1 = 2$ ，

$∴ A P = 2 C E = 4$ ，

由对称性可知， $A P = 12 - 4 = 8$ ，

综上所述， $A P$ 的值为4或8．

备考2024年中考数学核心素养专题五 几何图形的的阅读理解

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