解：如图，连接ME，

由上得 $C E = B D$ ，

$∴ \overset{⌢}{C E} = \overset{⌢}{B D}$ ，

$∴ ∠ D B M = ∠ E C M$

$∵ B M = C M$ ， $B D = C E$ ，

$∴ △ D B M ≌ △ E C M (SAS)$ ，

$∴ M D = M E$ .

$∵ A C ⊥ C N$ ，

$∴ ∠ M C N = 90 ° - ∠ A C M = ∠ H A C = \frac{1}{2} ∠ M A C = \frac{1}{2} ∠ D B M = \frac{1}{2} ∠ E C M$ .

$∴ ∠ M C N = ∠ E C N$ .

$∴ △ M C N ≌ △ E C N (SAS)$ .

$∵ △ A B C$ 面积是 $△ C E N$ 面积的6倍，

$∴ △ A C M$ 面积是 $△ M N C$ 面积的3倍.

$∴ A M = 3 M N$ .

设 $M E$ 交 $C N$ 于点K，

则 $M K = E K$ ， $M K ∥ A C$ ，

$∴ △ M N K ∽ △ A N C$ .

$∴ \frac{M K}{A C} = \frac{M N}{A N} = \frac{1}{4}$ .

$∴ M D = M E = 2 M K = 2 \times \frac{1}{4} A C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A M$ ，

$∴ y = \frac{F B}{A B} = \frac{D M}{A M} = \frac{1}{2}$ .

$∴ \frac{4}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ，

解得 $x = \sqrt{7}$ .

即 $\tan ∠ A C B = \sqrt{7}$ .

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