解：①∵△BDE≌△FDG，

∴∠FDG=∠BDE=α，

∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．

∵DE=DG，

∴∠DGE= $\frac{1}{2}$ (180°-∠FDG)=90°- $\frac{α}{2}$ ，

∴在△BDG中，∠DBG= 180°-∠BDG-∠DGE= 90°- $\frac{3 α}{2}$

∵AD为⊙O的直径，

∵∠ABD=90°．

∴∠ABC=∠ABD-∠DBG= $\frac{3 α}{2}$

∴ $\overset{⌢}{A C}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数之比为3：2．

∴ $\overset{⌢}{A C}$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度之比为3：2，

∵ $\overset{⌢}{A B}$ =2，

∴ $\overset{⌢}{A C}$ =3．

②如图，连结BO．

∵OB= OD，

∴∠OBD=∠ODB=a，

：∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．

∴∠BDG= 2α，

∴∠BOF=∠BDG．

∵∠BGD=∠BFO= 90°- $\frac{α}{2}$ ，

∴△BDG∽△BOF，

设△BDG与△BOF的相似比为k，

∴ $\frac{D G}{O F} = \frac{B D}{B O}$ =k．

∵ $\frac{O F}{O E} = \frac{4}{11}$

∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG= 4kx，

∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，

BD=DF=15x+4kx，

∴ $\frac{B D}{B O} = \frac{15 x + 4 k x}{11 x + 4 k x} = \frac{15 + 4 k}{11 + 4 k}$

由 $\frac{15 + 4 k}{11 + 4 k}$ =k，得4k²+7k-15=0，

解得k₁= $\frac{5}{4}$ ，k₂=-3(舍)，

∴OD= 11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，

∴AD=2OD=32x，

在Rt△ABD中，cos∠ADB= $\frac{B D}{A D} = \frac{20 x}{32 x} = \frac{5}{8}$

∴cosα= $\frac{5}{8}$

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