【方法一】解，如图，过点G作GP⊥BC于点P，则

C P = G D

.

$∵$ 点O为矩形ABCD的对称中心.

$∴ C F = A E$ .

设 $D G = x$ ，则 $C F = A E = 2 D G = 2 x ， F P = C F - C P = x ， G F = G E = 8 - 3 x$ .

在Rt $△ G P F$ 中， $G F^{2} = F P^{2} + G P^{2}$ .
$∴ (8 - 3 x)^{2} - x^{2} + 4^{2} ，$

解得 $x_{1} = 3 - \sqrt{3} ， x_{2} = 3 + \sqrt{3} (舍去) .$

$∴ A E = 6 - 2 \sqrt{3} .$

【方法二】解：如图，延长FG，CD交于点M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△MGD∽△MFC，
∴ $\frac{M D}{M C} = \frac{G D}{F C}$ ，
$∵$ 点O为矩形ABCD的对称中心， $C F = A E = 2 D G$ .

$∴ M C = 2 D C = 8 ， M F = 2 G F .$

设 $D G = x$ ，则 $C F = A E = 2 D G = 2 x ，$ $G F = G E = 8 - 3 x ， M F = 2 G F = 16 - 6 x$ .

在Rt $△ C M F$ 中， $M F^{2} = F C^{2} + M C^{2}$ ，
$∴ (16 - 6 x)^{2} = (2 x)^{2} + 8^{2} ，解得 x_{1} = 3 - \sqrt{3} ， x_{2} = 3 + \sqrt{3} (舍去) .$

$∴ A E = 6 - 2 \sqrt{3} .$

备考2024年浙江中考数学一轮复习专题21.2四边形 真题模拟集训

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