解：①如图1，此时，

B D ∥ P C

成立，

∵ $P C ∥ B D ， ∠ D B P = 90 °$ ，

∴ $∠ C P N = ∠ D B P = 90 °$ ，

∵ $∠ C = 30 °$ ，

∴ $∠ C P A = 60 °$ ，

∴ $∠ A P N = 30 °$ ，

∵转速为 $10 ° /$ 秒，

∴旋转时间为 $3$ 秒；

如图2， $P C ∥ B D$ ，

∵ $P C ∥ B D ， ∠ P B D = 90 °$ ，

∴ $∠ C P B = ∠ D B P = 90 °$ ，

∵ $∠ C = 30 °$ ，

∴ $∠ C P A = 60 °$ ，

∴ $∠ A P M = 30 °$ ，

∵三角板 $P A C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转的角度为 $180 ° + 30 ° = 210 °$ ，

∵转速为 $10 ° /$ 秒，

∴旋转时间为 $21$ 秒，

综上所述，当旋转时间为 $3$ 或 $21$ 秒时， $P C ∥ D B$ 成立；

②设旋转的时间为t秒，由题知， $∠ A P N = 3 t ° ， ∠ B P M = 2 t °$ ，

∴ $∠ B P N = 180 ° - ∠ B P M = 180 ° - 2 t °$ ，

∴ $∠ C P D = 360 ° - ∠ B P D - ∠ B P N - ∠ A P N - ∠ A P C = 360 ° - 45 ° - (180 ° - 2 t °) - (3 t °) - 60 ° = 75 ° - t °$ ，

当 $∠ C P D = ∠ B P M$ ，即 $2 t ° = 75 ° - t °$ ，

解得： $t = 25$ ，

∴当 $∠ C P D = ∠ B P M$ ，旋转的时间是 $25$ 秒．

2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.1.1 图形的旋转 同步分层训练培优卷

2023-2024学年初中数学沪科版九年级下册 24.1.1 图形的旋转同步分层训练培优卷