解：连接CF，FG．

∵点G与点F关于圆心O对称，

∴GF过圆心，且为 $⊙ O$ 的直径，

∴ $∠ G C F = 90^{o}$ ．

由（2）得 $△ D C A$ $∽$ $△ D B C$ ，

∴ $\frac{C D}{B D} = \frac{A D}{C D}$ ，即 $\frac{3}{1} = \frac{A B + 1}{3}$ ，

∴AB＝8．又 $\frac{A C}{B C} = 3$ ，

∴设BC＝k，AC＝3k，由 $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2}$ 得，

∴ $k^{2} + {(3 k)}^{2} = 8^{2}$ ，即 $10 k^{2} = 64$ ，

∴ $k = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ （舍去负值），

即 $B C = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ， $A C = \frac{12 \sqrt{10}}{5}$ ．

如图，过点A作 $A H ⊥ C F$ ，垂足为H，连接AF，BF．

∵点F为AB的中点，

∴AF＝BF， $∠ A C F = ∠ B C F = 45^{o}$ ，

∴ $A H = C H = \frac{\sqrt{2}}{2} A C = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $A F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 4 \sqrt{2}$ ， $F H = \sqrt{A F^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{12 \sqrt{5}}{5})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $C F = C H + F H = \frac{12 \sqrt{5}}{5} + \frac{4 \sqrt{5}}{5} = \frac{16 \sqrt{5}}{5}$ ，

在 $Rt △ C F G$ 中， $C G^{2} = F G^{2} - C F^{2} = 8^{2} - {(\frac{16 \sqrt{5}}{5})}^{2} = 64 - \frac{256}{5} = \frac{64}{5}$ ，

∴ $C G = \frac{8}{5} \sqrt{5}$ ．

2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练培优题