解：设

R t △ A B D

的

A B

边高为

h

，

由（2）可知 $A B = 8$ ，

又∵ $A B$ 是直径，

∴ $∠ A P B = 90 °$ ，

∴ $P A^{2} + P B^{2} = 8^{2} = 64$ ，

∴ $(P A + P B)^{2} = 64 + 2 P A \cdot P B$ ，

∴当 $P A + P B$ 取最大值时， $2 P A \cdot P B$ 也取最大值，

又∵ $S_{△ A B P} = \frac{1}{2} P A \cdot P B = \frac{1}{2} A B \cdot h$ ，

∴当 $P A + P B$ 取最大值时， $S_{△ A B P}$ 取最大值，

此时 $A B$ 边高为 $h$ 取最大值为 $⊙ O$ 半径 $= \frac{A B}{2} = 4$ ，

∴ $S_{△ A B P} = \frac{1}{2} A B \cdot h = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ ，

∴ $P A \cdot P B = 2 S_{△ A B P} = 32$

∴ $(P A + P B)^{2} = 64 + 2 \times 32 = 128$ ，

∴ $P A + P B = 8 \sqrt{2}$ ，

综上所述： $P A + P B$ 的最大值为 $8 \sqrt{2}$ ．

2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质与判定同步分层训练培优题