解：连接

P A

，

A M

，

由 $(1)$ 知，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 6$ ，

$∴ O C = 3$ ， $A C ⊥ B D$ ，

$∵ C D = 5$ ，

$∴ O D = \sqrt{C D^{2} - O C^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ ，

$∴ B D = 8$ ，

$∵ D M ⊥ B F$ ，

$∴ S_{菱形 A B C D} = B C \cdot D M = \frac{1}{2} B D \cdot A C$ ，

$∴ D M = \frac{B D \cdot A C}{2 B C} = \frac{8 \times 6}{2 \times 5} = \frac{24}{5}$ ，

$∴ C M = \sqrt{C D^{2} - D M^{2}} = \sqrt{5^{2} - (\frac{24}{5})^{2}} = \frac{7}{5}$ ，

$∵$ 菱形 $A B C D$ 关于对角线 $B D$ 所在直线对称，

$∴ P A = P C$ ，

$∴ △ P C M$ 周长 $= P C + P M + C M = P A + P M + \frac{7}{5} \geq A M + \frac{7}{5}$ ，

$∴ △ P C M$ 周长的最小值为 $A M + \frac{7}{5}$ ，

在 $R t △ A D M$ 中，

$A M = \sqrt{A D^{2} + D M^{2}} = \sqrt{5^{2} + (\frac{24}{5})^{2}} = \frac{\sqrt{1201}}{5}$ ，

$∴ △ P C M$ 周长的最小值为 $\frac{7 + \sqrt{1201}}{5}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练基础题