解：当

B F > C F

时，如图2，作

E G ⊥ B C

于点G，

∵ $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{8^{2} + 1 6^{2}} = 8 \sqrt{5}$ ，

∴ $M N = B D - B M - D N = 8 \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$ ，

∵四边形 $E M F N$ 是矩形，

∴ $E F = M N = 6 \sqrt{5}$ ，

∵ $∠ A = ∠ A B G = ∠ B G E = 90 °$ ，

∴四边形 $A B G E$ 是矩形，

∴ $E G = A B = 8 ， B G = A E = C F$ ，

∴ $F G = \sqrt{E F^{2} - E G^{2}} = \sqrt{{(6 \sqrt{5})}^{2} - 8^{2}} = 2 \sqrt{29}$ ，

∴ $B G + C F = 2 C F = 16 - 2 \sqrt{29}$ ，

∴ $C F = 8 - \sqrt{29}$ ，

∴ $B F = 16 - (8 - \sqrt{29}) = 8 + \sqrt{29}$ ；

当 $B F ＜ C F$ 时，如图3，作 $E H ⊥ B C$ 于点H，

∵ $∠ A = ∠ A B H = ∠ B H E = 90 °$ ，

∴四边形 $A B H E$ 是矩形，

∴ $E H = A B = 8 ， B H = A E = C F$ ，

∴ $B H - F H = C F - F H$ ，

∴ $B F = C H$ ，

∵ $E F = M N = 6 \sqrt{5}$ ，

∴ $F H = \sqrt{E F^{2} - E H^{2}} = \sqrt{{(6 \sqrt{5})}^{2} - 8^{2}} = 2 \sqrt{29}$ ，

∴ $B F + C H = 2 B F = 16 - 2 \sqrt{29}$ ，

∴ $B F = 8 - \sqrt{29}$ ，

综上所述， $B F$ 的长为 $8 + \sqrt{29}$ 或 $8 - \sqrt{29}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练培优题