解：连接

D P

，过点

N

做

N Q ⊥ P B

于

Q

，

$∵ A D = A C$ ，点 $M$ 为 $C D$ 中点，

$∴ A P$ 是 $C D$ 的垂直平分线，

$∴ C P = D P$ ，

$∵ ∠ C A D = 30 °$ ，

$∴ ∠ A C D = ∠ A D C = 75 °$ ，

$∵ ∠ A C B = 120 °$ ，

$∴ ∠ D C P = ∠ A C B - ∠ A C D = 120 ° - 75 ° = 45 °$ ，

$∴ ∠ D P B = ∠ P C D + ∠ P D C = 90 °$ ，

$∵ B D = 2$ ， $∠ P B D = 30 °$ ，

$∴ D P = \frac{1}{2} B D = 1$ ， $P B = \sqrt{B D^{2} - D P^{2}} = \sqrt{3}$ ，

设 $B N = x$ ，则 $N Q = \frac{1}{2} x$ ， $B Q = \sqrt{B N^{2} - N Q^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ，

$∵ ∠ N P Q = ∠ C P M = 45 °$ ，

$∴ P Q = N Q = \frac{1}{2} x$ ，

$∵ P B = P Q + Q B$ ，

$∴ \sqrt{3} = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ，

解得 $x = 3 - \sqrt{3}$ ，

即 $B N$ 的长为 $3 - \sqrt{3}$ ．

2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练培优题